Контрольная работа

I.Выполнение контрольной работы
Контрольная работа требует для своего выполнения наличия на компьютере пакета математических и инженерных расчётов, такого как Mathcad или SMath Studio. Рекомендуется использование последнего из них, т.к. данный пакет является свободно распространяемым, легко устанавливается на компьютер и не требует каких-либо специальных знаний для его использования.
Вариант задания выбирается из таблицы 1 (ячейка таблицы содержит номер варианта, соответствующие заголовки строки и столбца – исходные данные для расчёта) по двум последним цифрам пароля. Если число, образованное двумя последними цифрами пароля, превышает 48, то в качестве номера варианта принимается сумма этих цифр.
Преподаватель должен получить от студента на проверку архив, содержащий два документа:
1. Отчёт в виде текстового документа (.doc, .docx или .pdf).
2. Файл рабочий лист Mathcad в формате .mcd, .xmcd или рабочий лист SMath Studio в формате .sm с расчётами и графиками.

ЗАДАНИЕ
Вариант задания определить по двум цифрам пароля.
Примечание 2: варианты заданий находятся в таблице 1. Ячейки таблицы содержат номера вариантов. Исходные данные моделирования содержатся в заголовках строки и столбца, соответствующих ячейке с номером варианта.
Функцию распределения 〖F(x)〗_(ζ_(l_inf ) ) случайной величины ζ_(l_inf ) выбрать равномерной на интервале [1000; 2000] бит.
Функцию распределения F_(ζ_(t_prop ) ) (x) случайной величины ζ_(t_prop ) выбрать равномерной на интервале [L_chan/(0.9⋅C),L_chan/(0.6⋅C)] сек., в предположении, что скорость V_sign равномерно распределена на интервале [0.6⋅C,0.9⋅C] (С – скорость света (м/сек.)).
Создать рабочий файл MathCad (SMeth Studio) и в нём запрограммировать приведённые формулы 5-19.
Определить λ_max максимальную интенсивность потока входящих (первично передаваемых) кадров (кадр/сек.) по условию 4 (раздел 1.2).
Построить зависимости:
Максимальной интенсивности λ_max от вероятности p_er.
Количества K_repeat повторных передач кадров от вероятности p_er.
Времени T ̄_deliv доставки кадров от интенсивности λ_prim для p_er=10^(-3)," 1" 0^(-4)," 1" 0^(-9).
Времени T ̄_deliv доставки кадров от вероятности p_er при фиксированном значении λ_cadr.
Среднего числа n ̄_cadr кадров в буфере передающей станции от интенсивности λ_prim для p_er=10^(-3)," 1" 0^(-4)," 1" 0^(-9).
Среднего числа n ̄_cadr кадров в буфере передающей станции от вероятности p_er при фиксированном значении λ_prim.
Среднего числа n ̄_repeat кадров в буфере передающей станции от интенсивности λ_prim для p_er=10^(-3)," 1" 0^(-4)," 1" 0^(-9).
Среднего числа n ̄_repeat кадров в буфере передающей станции от вероятности p_er при фиксированном значении λ_prim.
Средней длительности w ̄_prim от интенсивности λ_prim для p_er=10^(-3)," 1" 0^(-4)," 1" 0^(-9).
Средней длительности w ̄_prim от вероятности p_er при фиксированном значении λ_prim.
Средней длительности w ̄_repeat от интенсивности λ_prim для p_er=10^(-3)," 1" 0^(-4)," 1" 0^(-9).
Средней длительности w ̄_repeat от вероятности p_er при фиксированном значении λ_prim.
Интерпретировать полученные зависимости, сделать выводы.
Оформить пояснительную записку в соответствии с ГОСТ 2.105-95, ГОСТ 7.32-2019.
Сдать контрольную работу преподавателю на проверку.
По результатам проверки внести необходимые исправления и защитить работу.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ
Таблица 1  Варианты заданий
L_chan (км)
10000 1000 100 10 1 0.1
C_chan=9.60 кбит/сек. 1 2 3 4 5 6
C_chan=14.4 кбит/сек. 7 8 9 10 11 12
C_chan=19.2 кбит/сек. 13 14 15 16 17 18
C_chan=28.8 кбит/сек. 19 20 21 22 23 24
C_chan=33.6 кбит/сек. 25 26 27 28 29 30
C_chan=56.6 кбит/сек. 31 32 33 34 35 36
C_chan=64.0 кбит/сек. 37 38 39 40 41 42
C_chan=1024 кбит/сек. 43 44 45 46 47 48

=============================================

Лабораторная работа №1 Применение B-формулы Эрланга в сетях с коммутацией каналов

Цель работы: Освоить применение формулы Эрланга для расчёта вероятности блокировки системы и необходимого количества каналов в сети.
Подготовка к работе:
Для выполнения работы необходимо изучить материалы лекции №7 «Процессы размножения и гибели в установившемся режиме», в частности, раздел 4 «M/M/m с отказом (модель Эрланга)».
Кроме того, полезным будет заглянуть в источники [1–3], чтобы прочитать материалы по данной теме.

Задание:
В лабораторной работе, задавая сетевые параметры в соответствии с вариантом (табл. 1), необходимо произвести расчёт вероятности блокировки по ф. (7.21) и построить её зависимости от входной нагрузки и количества каналов m (пример на рис. 34, 35).

Затем, используя рекуррентное соотношение ф. (7.22) определить число каналов, необходимое для обеспечения заданного значения вероятности блокировки в соответствии с вариантом (табл. 1). Построить зависимость количества каналов от входной нагрузки .

Порядок выполнения:
1. Открыть чистый рабочий лист Mathcad.
2. Определить параметры моделируемой СМО в соответствии с вариантом (табл. 1):
§интенсивность обслуживания приборов µ с^-1;
§диапазон изменения значений интенсивности входящего потока заявок l с^-1;
§количество обслуживающих приборов в СМО.

Примечание 4: Интервал изменения дискретного параметра выбрать самостоятельно.
3. Разработать функцию для вычисления вероятности блокировки в зависимости от нагрузки и количества каналов ф. (7.21).
4. Вызвать функцию для выполнения, подставив соответствующие значения.
5. Построить зависимости вероятности блокировки от нагрузки для различного числа приборов (рис. 34).
6. Построить зависимости вероятности блокировки от числа каналов для различной нагрузки (рис. 35).
7. Разработать функцию для вычисления необходимого количества каналов при заданном значении вероятности блокировки (табл. 1), используя рекуррентное соотношение ф. (7.22).
8. Построить зависимость количества каналов от входной нагрузки.
9. Оформить отчёт по выполнению лабораторной работы (см. Содержание отчёта).
10. Отправить преподавателю на проверку отчёт и рабочий лист Mathcad с функциями, расчётами и графиками.

Контрольные вопросы:
1. Дайте определение системы массового обслуживания.
2. Дайте определения процесса размножения и гибели.
3. Приведите особенности модели Эрланга.
4. Для чего применяется B-формула Эрланга?
5. В каких системах можно применить C-формулу Эрланга?
6. Что такое коэффициент загрузки СМО?
7. Дайте пояснения к обозначению СМО, которая описывает модель Эрланга.

Варианты заданий:
Таблица 1 – Параметры СМО для выполнения лабораторной работы №1
µ, с-1 0.1 1 10 0.5 5 50 0.2 2 20 15
Диапазон , с-1 0..1 0..10 10..30 5..50 0..15 50..100 0..5 0..25 2..40 1..30
Pb Диапазон m
0.01 1,5..40 8 31 48 19 24 33 26 10 16 6
0.02 0,10..100 39 27 12 30 3 17 47 41 45 21
0.03 1,10..80 22 1 38 50 34 40 15 44 7 49
0.04 5,10..60 32 43 23 13 29 9 35 20 28 37
0.05 10,20..120 2 14 46 5 18 25 4 36 11 42

=============================================

Лабораторная работа №2 Применение формулы Полячека-Хинчина

Цель работы: Изучить применение формулы Полячека-Хинчина для вычисления вероятностно-временных характеристик систем массового обслуживания с произвольным распределением времени обслуживания.
Подготовка к работе:
Для выполнения работы необходимо изучить материалы лекции №8 «Система M/G/1. Формула Полячека-Хинчина», а также разделы источников [1, 2, 4], посвящённые данной теме. Рекомендуется обратить внимание на примеры применения формулы Полячека-Хинчина для СМО различных типов.
Задание:
В данной лабораторной работе предполагается сравнить вероятностно-временные характеристики систем массового обслуживания типа M/M/1, M/D/1, полученные с помощью формул Полячека-Хинчина с характеристиками СМО, заданного по варианту типа (табл. 2).
Используя данные из табл. 2, задать параметры исследуемых систем массового обслуживания. Вычислить значения нормированной дисперсии исследуемых СМО ф. (8.6). Для вычисления математического ожидания и дисперсии воспользоваться любым справочником по теории вероятностей и математической статистике, например, [5] (или см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1).
По ф. (8.7)–(8.10) получить искомые характеристики:
§среднее количество заявок в СМО ;
§среднее количество заявок в очереди СМО ;
§среднее время пребывания заявки в СМО ;
§среднее время ожидания заявкой обслуживания .
Примечание 5: При этом диапазон изменения интенсивности входящего в СМО потока заявок l задать, начиная с 0, и таким образом, чтобы сохранить эргодичность системы .
Построить семейство зависимостей описанных выше характеристик от входной нагрузки для различных СМО, как показано на рис. 36.
Объяснить полученные результаты.
Порядок выполнения:
1.Открыть чистый рабочий лист Mathcad.
2.Определить параметры моделируемых СМО в соответствии с вариантом (табл. 2):
§ интенсивность обслуживания прибора µ с^-1;
§ диапазон изменения значений интенсивности входящего потока заявок l с^-1 (см. примечание 5);
§ нормированную дисперсию времени обслуживания для каждой СМО.
3.Разработать функцию(и) для расчёта вероятностно-временных характеристик СМО по формуле Полячека-Хинчина в соответствии с заданием.
4.Произвести расчёт ВВХ систем типа M/M/1 и M/D/1.
5.Произвести расчёт ВВХ систем, заданных по варианту в табл. 2.
6.Построить зависимости полученных значений от интенсивности входной нагрузки для СМО разного типа, отличающихся значением нормированной дисперсии (пример на рис. 36).
7.Объяснить полученные результаты.
8.Оформить отчёт по выполнению лабораторной работы (см. Содержание отчёта).
Отправить преподавателю на проверку отчёт и рабочий лист Mathcad с функциями, расчётами и графиками.
Выводы по проделанной работе.
Список литературы.

Контрольные вопросы:
Опишите систему массового обслуживания M/G/1.
Почему анализ системы с последействием затруднён?
В чём заключается метод вложенной цепи Маркова?
Как выглядит матрица вероятностей переходов вложенной цепи Маркова?
Дайте пояснения к правой части формулы Полячека-Хинчина.
Что такое нормированная дисперсия времени обслуживания?
Варианты заданий:
Таблица 2 – Параметры для выполнения лабораторной работы №2
µ, с-1 5 1 15 4.5 8
Дополнительные параметры распределения Распределение времени обслуживания
α=5,5 Гамма 16 38 12 8 32
a=0; b=2/μ Равномерное 22 3 31 34 6
α=2,5 Логнормальное 44 49 40 2 18
α=0,5 Вейбулла 35 17 50 21 41
k=4 Эрланга 9 29 23 46 15
p=0,1 Гиперэкспоненциальное 2-го порядка 13 7 1 11 27
– Рэлея 28 33 26 19 43
– Максвелла 4 47 37 5 36
α=3,0 Парето 24 45 14 25 10
α=1,5 Обратное гауссовское 39 20 42 30 48

=============================================

Лабораторная работа №3 Уравнения глобального баланса

Цель работы: Научиться составлять и решать системы уравнений глобального баланса для анализа замкнутых однородных марковских СеМО, а также применять результаты расчёта для вычисления узловых и сетевых характеристик СеМО.
Подготовка к работе:
Для выполнения работы необходимо изучить материалы лекций №9 «Обзор сетей массового обслуживания» и №10 «Методы анализа замкнутых однородных СеМО». Кроме того, для лучшего понимания материала рекомендуется не отвергать соответствующие разделы источников [6–8].
Задание:
Применяя метод составления и решения системы уравнений глобального баланса замкнутой однородной марковской СеМО в соответствии с вариантом (табл. 3), определить узловые характеристики СеМО:
- интенсивности потоков заявок, входящих в узлы;
- коэффициенты загрузки узлов;
- коэффициенты простоя узлов;
- среднее количество заявок в узлах;
- среднее количество заявок в очередях узлов;
- среднее время пребывания заявки в узле;
- среднее время ожидания заявкой обслуживания в узле;
и сетевые характеристики СеМО:
- пропускная способность СеМО;
- среднее количество заявок в очередях СеМО;
- среднее время пребывания заявки в СеМО;
- среднее время ожидания заявкой обслуживания в СеМО.
Сделать выводы по проделанной работе. Например, выявлены ли в результате вычислений узкие места в моделируемой сети, возможно ли решение этих проблем и, если да, то за счёт каких ресурсов и т.п.
Порядок выполнения:
Открыть чистый рабочий лист Mathcad
Определить параметры моделируемой СеМО в соответствии с вариантом (табл. 3):
количество узлов СеМО;
маршрутную матрицу;
количество заявок в СеМО;
количество обслуживающих приборов в узлах СеМО;
интенсивности обслуживания в узлах СеМО.
Составить уравнения равновесия интенсивностей потоков заявок, входящих в узлы λ_i=∑_(j=1)^N▒〖θ_ij λ_j, i=¯(1,N)〗.
Определить коэффициенты переходов e_i, выразив их из уравнений равновесия входящих потоков и приняв e_1=1.
Определить относительные коэффициенты загрузки узлов b_i=e_i/μ_i .
Определить все возможные состояния СеМО S(K, N).
Построить диаграмму интенсивностей переходов и матрицу интенсивностей переходов.
Используя диаграмму или матрицу интенсивностей переходов составить систему уравнений глобального баланса, включив в систему нормирующее условие ∑_(∀s∈S(K,N))▒π(k_1, ..., k_N ) =1.
Решить систему уравнений относительно вероятностей состояний СеМО.
Определить маргинальные вероятности состояний узлов СеМО из π_i (l)=∑_(k_i=l)▒π(k_1, k_2, ..., k_N ) .
Вычислить узловые и сетевые характеристики СеМО (см. Задание).
Свести результаты в таблицу.
Оформить отчёт по выполнению лабораторной работы (см. Содержание отчёта).
Отправить преподавателю на проверку отчёт и рабочий лист Mathcad с функциями, расчётами и результатами.

Контрольные вопросы:
1. Дайте определение сети массового обслуживания.
2. Поясните наличие классов заявок.
3. Приведите классификацию сетей массового обслуживания.
4. Что такое маршрутная матрица?
5. Охарактеризуйте пространство состояний замкнутой сети массового обслуживания.
6. В чём заключается особенность марковских СеМО?
7. Назовите известные дисциплины обслуживания заявок.
8. Что такое узловые характеристики?
9. Что включают в себя уравнения глобального баланса?
10. Перечислите исходные данные для анализа замкнутой СеМО.

Варианты заданий:
Таблица 3 – Схемы моделей замкнутых СеМО